En el presente informe, nosotros como estudiantes
del curso de herramientas en la toma de decisiones, de la carrera de ingeniería
industrial de la Universidad César Vallejo, mostramos el análisis del sistema
de colas en el centro de informática y de sistemas (CIS), aplicando el método de estudio de tiempos
para de esta forma identificar, si la capacidad del servicio brindado cubre la
demanda del mismo y satisface a los clientes, o evaluar si se está mal
utilizando los medio disponibles al tener servidores ociosos en gran parte del
tiempo, o si se necesita aumentar el número de servidores disponibles, lo cual
generará una inversión económica.
En esta oportunidad, además del análisis central que
se realiza con la medición de tiempos al CIS se mostrarán conceptos básicos para
la comprensión del mismo de forma detallada, se incluirán referencias
fotográficas y se mostrarán nuestras conclusiones y recomendaciones sobre el
sistema de atención brindado en la actualidad.
LOS AUTORES
Numerosas situaciones de nuestra vida diaria esperamos en una cola o
línea de espera, como para comprar la entrada al cine, para cobrar un cheque en
el banco, para pagar en el supermercado o el cafetín, para ser atendido en un
hospital. También se da en los sistemas informáticos los fenómenos de espera.
Así, puede haber colas de personas esperando a usar un terminal, colas de
solicitudes de entrada/salida, mensajes o paquetes de datos o programas
informáticos que esperan para hacer procesados por un sistema central o
llamadas telefónicas esperando una línea desocupada para completar la conexión.
La espera se produce porque hay más demanda de servicio que el
disponible. Sin embargo, ampliar esta capacidad de servicio no siempre es la
solución adecuada. Por un lado, esta ampliación se puede acometer con una
inversión económica (comprar más servidores, extender el espacio que alberga la
cola, etc.), pero podríamos llegar a una situación que raramente se formasen
colas y los servidores estuvieran ociosos gran parte del tiempo, es decir,
estaríamos infrautilizando los medios disponibles. Por otro lado, si casi todos
los clientes deben ingresar a la cola, probablemente perderíamos algunos que
irían a satisfacer su servicio a otros sistemas. Por tanto, se trata de
comenzar un nivel adecuado de servicio con unos gastos no excesivos.
Para llegar una solución el
analista del sistema necesita conocer la respuesta a preguntas como ¿cuánto
tiempo debe esperar un cliente?, ¿Cuántos clientes se acumularán en la cola? o
¿Cuántos clientes llegan por unidad de tiempo? A partir de ellos podremos
considerar cuales son los sistemas alternativos y de tratar de evaluar su
funcionamiento. La teoría de colas proporcionan al planificador diversos
modelos que dan respuesta a estas cuestiones y, en particular, ha demostrado
ser una de las áreas más fructíferas de la teoría de la probabilidad.
PRESENTACIÓN
El mundo actual, caracterizado por entornos abiertos
altamente competitivos, exige profesionales preparados y a la vanguardia
del avance tecnológico que respondan exitosamente al mercado laboral, por
ello el Centro de Informática y Sistemas de la Universidad César Vallejo
cumple un rol activo en la capacitación y entrenamiento de los alumnos y la
comunidad con servicios educativos modernos y de calidad.
El CIS complementa la formación de los estudiantes de
pregrado a través del Programa de Acreditación en Computación, que prepara
y certifica a los alumnos en el manejo y dominio de herramientas
informáticas y tecnologías de la información, conforme a las demandas
propias de sus carreras y dentro de las exigencias del mercado empresarial.
Además, mediante el Programa de Extensión, entrena a
la comunidad universitaria, profesional y empresarial en el dominio de las
últimas herramientas tecnológicas, con una metodología práctica e
instructores certificados a nivel internacional que procuran su desarrollo
profesional y la actualización permanente del conocimiento.
|
.
Los clientes que provienen de una población o fuente llegan al sistema para
recibir algún tipo de servicio. El término “cliente” se usa en sentido
genérico, pudiendo ser tanto una persona que espera en la cola del cine, como
un avión despegando para despegar o un programa para ser ejecutado el
dispositivo de servicio del sistema ofrece un conjunto (limitado) de servidores
y recursos, a veces llamado canales, para satisfacer la decisión de los
clientes. Si cuando el cliente llega al sistema, todos los servidores están
ocupados, deberá esperar en cola antes de esperar al recibir el servicio.
Una descripción más precisa del sistema de colas requiere especificar el
detalle 7 características básicas:
1. Población o fuente de Clientes.
2. Modelo de llegada.
3. Modelo de Servicio de cada Servidor.
4. Números de Servidores o Canales.
5. Número de Etapa de Servicio.
6. Capacidad del Sistema.
7. Disciplina de la Cola.
8. Población o Fuente.
Población o
Fuente: La población o fuente de los clientes potenciales puede
ser finita o infinita. Esta última suele conducir a sistemas con descripciones
matemáticas más sencillas, ya que un sistema con fuente finita el número de
clientes en el sistema afecta las tasas de llegada, que será 0 si todos los
clientes están en el sistema. Si la población es finita pero suficientemente
grande, se asume que es infinita para simplificar el análisis del modelo.
Modelo de
Llegadas: Este modelo describe el patrón de llegadas de los clientes
al sistema. Si es determinista, es decir las llegadas están igualmente
espaciadas en el tiempo bastara caracterizarlo midiendo el número de llegadas
por unidad de tiempo o el medio tiempo de llegadas consecutivas, ambas medidas
claramente relacionadas. Denotaremos con
a la tasa media de llegadas o velocidad media,
siendo portando
el tiempo medio entre llegadas. (1)
Modelo de Servicio:
Generalmente el patrón del servicio está especificado por el tiempo de
servicio, que es el tiempo que le toma a un servidor atender a un cliente. El
tiempo de servicio puede ser determinístico o puede ser de una variable
aleatoria que ya se encuentran dentro de las instalaciones o pueden ser
independientes del estado. También es importante determinar si un servidor
atiende por completo a un cliente o si como en la figura:
El cliente requiere una secuencia de servidores. A menos que se especifique lo
contrario, la consideración normal será que un servidor puede atender por
completo a un cliente. (2)
Número de
Servidores o Canales: El sistema de colas más sencillo tiene un único
servidor, que atiende a un solo cliente cada vez. Un sistema multicanal o multi
servicio dispone de c canales paralelos que puede dar servicio a c clientes a
la vez.
Número de
Etapas de Servicio: A veces existen varias etapas de servicio por las que
debe pasar el cliente, en una cadena de producción o de montaje. Entre sus
variantes, podemos considerar el caso en que cada etapa acepta un cliente una
vez que ha terminado el servicio de la anterior – Líneas de sistema de Espera
-, o el caso en que la primera etapa solo acepta un nuevo cliente cuando el
anterior a abandona la última etapa – servidor constituido por diversas
etapas. (1)
Capacidad del
Sistema: La capacidad del sistema es el número máximo de
clientes, tanto el servicio como en la (s) línea (s) de espera, que pueden
estar simultáneamente en instalación del servicio. Siempre que un cliente
llegue a una instalación que este completa, se le negara la entrada. A este
cliente no se le permite esperar fuera de las instalaciones ya que esto (sería un incremento efectivo de la
capacidad) sino que se le obliga a participar sin recibir un servicio. Un sistema que no tiene límite en cuanto al
número de clientes que pueden permanecer dentro de las instalaciones, tiene
capacidad infinita; un sistema con límite tiene capacidad finita. (2)
Disciplina de
la Cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que
sus miembros se seleccionan para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:
Primero en entrar, primero en salir; aleatoria; de acuerdo con algún
procedimiento de prioridad o con algún otro orden. En los modelos de cola se
supone como normal a la disciplina del primero en entrar, primero en salir, a
menos que se establezca de otra manera. (3)
Terminología y Notación:
A menos que se
establezca otra cosa, se utilizara la siguiente terminología estándar:
Estado del sistema =
Número de clientes en el sistema.
Longitud de la cola =
Número de clientes que esperan servicio.
=
estado del sistema menos número de clientes a quienes se les da el
servicio.
N (t) =
Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo (t
0).
(t) = Probabilidad
de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el
número en el tiempo 0.
Número de servidores (canales de servicio en
paralelo) en el sistema de
colas.
= Tasa media de llegadas (número esperado de
llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el
sistema.
= Tasa media de servicio en todo el sistema
(número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo)
cuando hay n clientes en el sistema. Nota:
representa la tasa combinada a la que todos
los servidores ocupados (aquellos que están sirviendo a un cliente) logran
terminar sus servicios.
Cuando
es constante para toda n, esta constante se
denota por
. Cuando la tasa
media de servicio por servidor ocupado es constante para toda
, esta constante se
denota por
. (En este caso,
cuando
, es decir, cuando
los s servidores están ocupados.) En estas circunstancias,
y
es el tiempo esperado entre llegadas y el
tiempo esperado de servicio, respectivamente. Asimismo,
es el factor
de utilización de la instalación de servicio, es decir, la fracción
esperada de tiempo que los servidores del sistema (s
) que utilizan en
promedio los clientes que llegan (
).
También
se requiere cierta notación para describir los resultados de estado estable.
Cuando un sistema de colas apenas inicia su operación, el estado del sistema
(el número de clientes que esperan en el sistema) se encuentra bastante
afectado por el estado inicial y el tiempo que ha pasado desde el inicio. Se
dice entonces que el sistema se encuentra en condición transitoria. Sin embargo, una vez que ha pasado
suficiente tiempo, el estado del sistema se vuelve, en esencia, independiente
del estado inicial y del tiempo transcurrido (excepto en circunstancias no
usuales).
En este
contexto, se puede decir que el sistema ha alcanzado su condición de estado estable, en la que la distribución de
probabilidad del estado del sistema se conserva (la distribución estacionaria o
de estado estable) a través del tiempo. La teoría de colas tiende a dedicar su
análisis a la condición de estado estable, en parte porque el caso transitorio
es analíticamente más difícil. (Existen algunos resultados transitorios pero en
general están más allá del alcance de este libro.) La notación siguiente supone que el sistema se encuentra
en la condición de estado estable:
= Probabilidad de
que haya exactamente n clientes en el sistema.
L =
Número esperado de clientes en el sistema =
= Longitud esperada
de la cola (excluye los clientes que están en servicio)
W =
Tiempo de espera en el sistema (incluye tiempo de servicio) para cada cliente.
W= E
(W).
= Tiempo de espera
en la cola (excluye tiempo de servicio) para cada cliente.
Relaciones entre L, W,
y
Suponga
que
es una constante
para toda n. Se ha demostrado que en un
proceso de colas en estado estable,
L =
Si las
no son iguales, entonces
se puede sustituir en estas ecuaciones por
, la tasa promedio
entre llegadas a largo plazo. (Más adelante se verá cómo se puede determinar
en algunos casos básicos.)
Ahora
suponga que el tiempo medio de servicio es una constante
, para toda
. Se tiene entonces
que
W=
Estas
relaciones son en extremo importantes, puesto que permiten determinar las
cuatro cantidades fundamentales: L, W,
y
en cuanto se encuentra analíticamente el valor
de una sde ellas. Esta situación es afortunada, ya que suele ser mucho más
fácil determinar una de ellas que las otras al resolver un modelo de colas a
partir de los principios básicos. (3)
Características
del sistema.
Un
sistema m/m/1 es un sistema de línea de espera que tiene tiempos entre llegadas
distribuidos exponencialmente, con parámetros λ; tiempos de servicio
distribuidos exponencialmente, con parámetros µ; un servidor; la capacidad del
sistema no tiene límites; y una disciplina de línea de espera del tipo primero
en llegar, primero en atenderse. La constante λ es la tasa promedio de llegadas
de clientes; la constante µ es la tasa promedio de servicio a clientes. Ambas
se expresan en unidades de clientes por unidad de tiempo. El tiempo esperado
entre llegadas y el tiempo esperado para atender a un cliente son 1/λ y 1/µ,
respectivamente.
Ya que
los tiempos entre llegadas distribuidos exponenciales con media 1/λ son
equivalentes, sobre un intervalo t, a un patrón de llegadas con distribución de
Poisson y media λt .
A los
tiempos m/m/1 con frecuencia se les denomina sistemas de línea de espera de un
solo servidor, de capacidad infinita, con entrada de poissoniana y tiempos de
servicio exponenciales.
Un
sistema m/m/1 es un proceso poissoniano de nacimiento-muerte . la probalidad
pn(t), de que el sistema tenga exactamente n clientes, ya sea esperando el
servicio o en servicio, el tiempo t, satisface a las ecuaciones kolmogorov, con
λn = λ y µn = µ para toda n. la solución completa para estas ecuaciones, aunque
posible, no es necesaria.
Las
probalidades de estado estable para un sistema de línea de espera son:
Pn =
(n=0,1,2….)
Si
existe el limite. Para un sistema m/m/1, se define al factor de utilización (o
intensidad de transito9 como
P=
Esto es, p es el numero esperado de llegadas por la media
del tiempo de servicio si p ˂ 1, entonces, las probalidades de estado estable
existen y están dadas por
Pn=
Si p ˃1, las llegadas se presentan con una tasa mayor que
lo que el servidor puede manejar; la longitud esperada de la línea aumenta sin
limite y no se presenta un estado estable. Una situación similar ocurre cuando
p=1.
Para un sistema de lienas de espera en estado estable,
las medidas de mayor interés son.
L= numero promedio de clientes en el sistema.
Lq= longitud promedio de línea de espera.
W = tiempo promedio que un cliente permanece en el
sistema
Wq= tiempo promedio que un cliente permanece (o espera)
en la línea
W(t) = probalidad de que un cliente permanezca mas de /
unidades de tiempo en el sistema.
Wq (t) = probalidad de que un cliente permanezca mas de /
unidades de tiempo en la línea de espera.
En muchos sistemas de liena de espera, las primeras
cuatro de estas medidas están relacionadas por
W=
Y por las formulas de Little
L=
w
La formula para el tiempo de espera se cumple siempre que
(como en el sistema m/m/1) hay un solo tiempo de espera de servicio, 1/µ, para
todos los clientes. Las formulas de Little son validas para un sistema muy
generales, siempre y cuando
denote la tasa promedio de llegada de
clientes dentro de las instalaciones de servicio.
Para un sistema m/m/1 ,
= λ y las seis medidas son explícitamente:
l=
=
w=
=
W(t)=
(t≥0)
(t)=
(t≥0)
Que aunque el tiempo de permanencia en el sistema tiene
la distribución exponencial y el tiempo durante el servicio se distribuye
también exponencialmente, la diferencia entre estos dos tiempos, que es el
tiempo de permanencia en la línea de espera, no se distribuye exponencialmente.
Numero promedio de clientes
en el sistema es de 0.02657.
Clientes en la cola
de espera por minuto es de 0.000681
El tiempo promedio
que un cliente permanece en el sistema es de 2.84 min
El tiempo promedio
que un cliente permanece en l acola es de 0.073249 minutos.
El porcentaje de
utilización del sistema es de 2.6%
La probabilidad de
que el sistema este vacío es de 97.4%
1. Bretón, Tomás. Investigación
Operativa. Madrid : Centros de Estudios Rámon Areces S.A, 2004. ISBN
84-8004-666-X.
2.
Bronson, Richard. Investigacion de Operaciones. México :
Mc Graw Hill, 1996. ISBN 0-07-007977-3.
3.
Lieberman, Federick S. Hiller and Gerald J. INTRODUCCIÓN A LA
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. México : Mc Graw Hill, 2010. ISBN: 978-607-15-0308-4.
